Phương pháp chia miền giải bài toán đạo hàm riêng trên siêu máy tính song song

Các siêu máy tính song song với hàng trăm, hàng nghìn, thậm chí hàng trăm nghìn nhân tính toán đang ngày càng trở nên phổ biến. Chúng có năng lực tính toán lý thuyết rất lớn, nhưng cũng có cấu trúc đặc biệt, là sự kết hợp của nhiều bộ vi xử lý đa nhân có bộ nhớ riêng. Do vậy việc sử dụng chúng một cách hiệu quả không đơn giản. Nhiều phương pháp số cổ điển mặc dù chạy tốt trên các máy tính truyền thống vẫn cần được nghiên cứu, phát triển để có thể chạy hiệu quả trên môi trường song song.

Nhằm phát triển các phương pháp chia miền dùng để giải phương trình đạo hàm riêng trong các mô phỏng kích thước lớn trên siêu máy tính song song, góp phần đẩy mạnh hướng nghiên cứu về phương pháp chia miền nói riêng và tính toán khoa học kích thước lớn nói chung ở Việt Nam, đồng thời góp phần vào công tác đào tạo thông qua việc hướng dẫn các học viên cao học ngành Toán ứng dụng, nhóm đề tài Trường Đại học Duy Tân, Bộ Giáo dục và Đào tạo, do TS. Nguyễn Trung Hiếu đứng đầu đã đề xuất thực hiện đề tài: “Phương pháp chia miền giải bài toán đạo hàm riêng trên siêu máy tính song song”. Đề tài tập trung nghiên cứu các phương pháp có tính ứng dụng và phổ quát cao. Cụ thể là các phương pháp mà tốc độ hội tụ không thay đổi khi số miền con tăng lên (scalable) và có thể áp dụng cho một lớp rộng các bài toán trong khoa học cũng như kỹ thuật.

Đề tài tập trung nghiên cứu hai hướng chính: (i) phương pháp chia miền giải bài toán với hệ số truyền dẫn không đồng nhất, biến đổi nhanh (tập trung vào phương pháp chia miền cân bằng sử dụng ràng buộc (Balancing Domain Decomposition by Constraints - BDDC); (ii) tiền xử lý (preconditioner) chia miền dùng cho phương pháp phần tử hữu hạn thích nghi song song (parallel adaptive finite element methods) (tập trung vào phương pháp Schwarz cộng tính (Additive Schwarz - AS). Với cả hai hướng nghiên cứu này, đề tài xây dựng phương pháp, nghiên cứu sự hội tụ lý thuyết, lập trình và phân tích khả năng chạy với nhiều nhân tính toán (scalablity), trước tiên trong môi trường song song giả lập và sau đó là trên các siêu máy tính song song.

Sau một thời gian thực hiện, đề tài đã thu được những kết quả tốt, có ý nghĩa khoa học:

1. Đã xây dựng mới một biến thể của phương pháp chia miền Schwarz tối ưu để dùng cho phương pháp phần tử hữu hạn thích nghi song song. Bằng việc sử dụng các lưới tính toán địa phương bao phủ toàn miền vật lý nhưng chỉ mịn ở miền địa phương và thưa dần khi ở xa, đề tài có thể chứng minh được phương pháp đề xuất là tối ưu với tốc độ hội tụ không phụ thuộc vào kích thước miền chia, kích thước của lưới mịn hay số miền chia. Thử nghiệm số tái khẳng định phương pháp đề xuất nhanh hơn phương pháp Schwarz cổ điển, đặc biệt là với các bài toán kích thước lớn.

2. Đã xây dựng mới một biến thể của phương pháp chia miền cân bằng với các ràng buộc định nghĩa trên các đối tượng thưa gắn với mặt con, cạnh con và các đỉnh nằm giữa chúng. Đề tài có thể chứng minh được rằng số điều kiện của toán tử sau tiền xử lý có thể bị chặn bởi C(1+L/h)^2 thay vì bởi C(1+H/h)^2 như trong các kết quả cổ điển, ở đó C là hằng số, L, H và h lần lượt là kích thước đặc trưng của các đối tượng con, các miền con và các phần tử trên lưới tính toán. Không giống như kích thước các miền con H bị ràng buộc bởi số miền chia và yêu cầu số phần tử trong các miền con không quá khác biệt, theo lý thuyết kích thước của các phần tử con L có thể chọn bé tùy ý, thậm chí cùng độ lớn với h. Nói một cách khác,có thể có được một một tiền xử lý với số điều kiện tối ưu O(1). Kết quả trong bài báo này có thể dùng để tăng tốc độ tiền xử lý chia miền cân bằng với ràng buộc thông qua việc sử dụng các đối tượng con có kích thước nhỏ hơn kích thước miền con hoặc để giải các bài toán có hệ số biến đổi khi sử dụng các đối tượng con tương ứng với các giá trị của hệ số khác nhau. Cả hai điều này đều đã được kiểm chứng bằng các ví dụ số chạy trên siêu máy tính song song.

3. Đã xây dựng mới một biến thể của phương pháp chia miền cân bằng với ràng buộc ổn định với sự biến đổi của hệ số truyền dẫn. Bên cạnh việc sử dụng một phân hoạch đảm bảo khối lượng tính toán cho mỗi miền con không quá khác biệt, đề tài còn sử dụng một phân hoạch vật lý được xác định bởi giá trị của hệ số truyền dẫn (tính chất vật lý của vật liệu được mô phỏng). Một số đối tượng hình học (mặt, cạnh và đỉnh) của phân hoạch vật lý được chọn để áp đặt các ràng buộc. Đề tài có thể chứng minh rằng nếu các đối tượng được chọn thỏa mãn một điều kiện không quá nghiêm ngặt thì số điều kiện của toán tử sau tiền xử lý sẽ không phụ thuộc vào độ tương phản của hệ số truyền dẫn trong mỗi miền con. Sự hiệu quả của phương pháp đề xuất được kiểm chứng bằng rất nhiều ví dụ số, trong đó phải kể đến các ví dụ số thực hiện trên siêu máy tính song song sử dụng 8232 nhân tính toán để giải bài toán với kích thước hơn một nửa tỷ bậc tự do.

4. Đề tài có thể loại bỏ nhân tử (1- gamma^2) trong đánh giá của số điều kiện hiệu dụng, ở đó gamma là hằng số lớn nhất trong các đánh giá bằng bất đẳng thức Cauchy–Buniakowskii–Schwarz áp dụng cho các phân rã phân cấp của không gian phần tử hữu hạn toàn miền thành không gian thưa và không gian mịn. Nói một cách khác kết quả thu được khẳng định tiền xử lý được đề xuất thậm chí còn ổn định hơn so với hiểu biết ban đầu vì hằng số gamma có thể rất gần với các lưới thích nghi có chất lượng không tốt. Kết quả lý thuyết này được tái khẳng định thông qua các ví dụ số với miền có nhiều góc lõm (lưới thích nghi của các miền này thường có gamma xấp xỉ bằng 1). Tóm lại, tiền xử lý tối ưu một cấp mà đề tài đề xuất rất thích hợp với phương pháp phần tử hữu hạn thích nghi song song.

Các kết quả của đề tài có ý nghĩa khoa học cao khi lần đầu tiên có thể xây dựng được một tiền xử lý chia miền cân bằng không sử dụng các bài toán phụ như bài toán giá trị riêng, bài toán Dirichlet trên các cạnh mà vẫn vững và ổn định với sự thay đổi của hệ số vật lý. Kết quả này không những được chứng minh bằng lý thuyết mà còn được kiểm chứng bằng các thử nghiệm số trên các siêu máy tính song song. Đề tài cũng xây dựng cơ sở lý thuyết cho các tiền xử lý chia miền Schwarz cộng tính sử dụng cho phương pháp phần tử hữu hạn thích nghi song song. Đặc biệt theo hướng này, đề tài đã đề xuất sử dụng các lưới thích nghi trong miền chồng lấp để tận dụng tài nguyên sẵn có và giảm chi phí tính toán. Các tiền xử lý đề xuất, do vậy, vừa có tốc độ nhanh vừa chi phí thấp hơn các tiền xử lý hiện có.

 Trên cơ sở kết quả này, đề tài dự định sẽ mở rộng tiền xử lý chia miền cân bằng sử dụng ràng buộc dựa trên tính chất vật lý cho các trường hợp tổng quát hơn bằng cách nới lỏng điều kiện tính chất vật lý của vật liệu hay môi trường phải là hằng số trong các miền con chia theo tính chất vật lý. Nhóm đề tài cũng hi vọng có thể sử dụng các hàm cơ sở thưa của các tiền xử lý này để xây dựng các phương pháp đa kích thước giải bài toán có hệ số không đồng nhất, biết đổi nhanh.

Các kết quả của đề tài đã được đăng trên tạp chí Journal of Computational and Applied Mathematics, tạp chí Applied Mathematics Letters, Tạp chí Journal of Scientific Computing.

Có thể tìm đọc toàn văn Báo cáo kết quả nghiên cứu của Đề tài (Mã số 16566/2019) tại Cục Thông tin Khoa học và Công nghệ Quốc gia.

P.T.T (NASATI)